Higher Paper 2

\begin{aligned} &\text{Let the position vectors of } P,Q,R,S \text{ be } \vec p,\vec q,\vec r,\vec s.\\ &\text{Midpoints: } E=\tfrac{\vec p+\vec q}{2},\; F=\tfrac{\vec q+\vec r}{2},\; G=\tfrac{\vec r+\vec s}{2},\; H=\tfrac{\vec s+\vec p}{2}.\\[2mm] &\vec{EF}=\vec F-\vec E=\tfrac{\vec q+\vec r-\vec p-\vec q}{2}=\tfrac{\vec r-\vec p}{2}.\\ &\vec{HG}=\vec G-\vec H=\tfrac{\vec r+\vec s-\vec s-\vec p}{2}=\tfrac{\vec r-\vec p}{2}.\\ &\Rightarrow \vec{EF}=\vec{HG}\;\; (\text{equal and parallel}).\\[2mm] &\vec{FG}=\vec G-\vec F=\tfrac{\vec r+\vec s-\vec q-\vec r}{2}=\tfrac{\vec s-\vec q}{2}.\\ &\vec{EH}=\vec H-\vec E=\tfrac{\vec s+\vec p-\vec p-\vec q}{2}=\tfrac{\vec s-\vec q}{2}.\\ &\Rightarrow \vec{FG}=\vec{EH}\;\; (\text{equal and parallel}).\\[2mm] &\text{Opposite sides of } EFGH \text{ are equal and parallel }\Rightarrow EFGH \text{ is a parallelogram.} \end{aligned}